Cite this article as:

Kuznetsov S. P. Chaos in the System of Three Coupled Rotators: from Anosov Dynamics to Hyperbolic Attractor. Izvestiya of Saratov University. New series. Series Physics, 2015, vol. 15, iss. 2, pp. 5-17.


Heading: 
UDC: 
517.9
Language: 
Russian

Chaos in the System of Three Coupled Rotators: from Anosov Dynamics to Hyperbolic Attractor

Abstract

The work presents an example of a system with chaotic dynamics built of three rotators by modifying a conservative system with hyperbolic Anosov dynamics. Results of a computational study of chaotic dynamics are considered (portraits of attractors, time dependences of the variables, Lyapunov exponents, and spectra) and good correspondence is observed between the dynamics on the attractor of the proposed system with the reduced model, characterized by the Anosov dynamics at appropriately defined energy.

References

1. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. 2-е изд. М. : Физматлит, 2005. 292 с.

2. Лихарев К. К., Ульрих Б. Т. Системы с джозефсоновскими контактами : основы теории. М. : Изд-во МГУ, 1978. 446 с.

3. Cirillo M., Parmentier R. D., Savo B. Mechanical analog studies of a perturbed sine-Gordon equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1981. Vol. 3, № 3. P. 565–576.

4. Kuznetsov S. P., Neumann E. Torus fractalization and singularities in the current-voltage characteristics for the quasiperiodically forced Josephson junction // Europhysics Letters. 2003. Vol. 61, № 1. P. 20–26.

5. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proc. IRE. 1946. Vol. 34, № 6. P. 351–357.

6. Хохлов Р. В. К теории захватывания при малой амплитуде внешней силы // Докл. АН СССР. 1954.Т. 97, № 3. С. 411–414.

7. Аносов Д. В., Арансон С. Х., Гринес В. З., Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Сафонов А. В., Солодов В. В., Старков А. Н., Степин А. М., Шлячков С. В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M. :ВИНИТИ, 1991. Т. 66. С. 5–242.

8. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М. : Наука, 1979. С. 192–212.

9. Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial // Intern. J. of Bifurcation and Chaos.1997. Vol. 7, № 9. P. 1353–2001.

10. Kuznetsov S. P. Hyperbolic Chaos : A Physicist’s View. Berlin ; Heidelberg : Higher Education Press ; Beijing and Springer-Verlag, 2012. 336 p.

11. Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы : от математики к физике. М. ; Ижевск : ИКИ, 2013. 488 с.

12. Кузнецов С. П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы : от математики к физике // УФН. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149.

13. Kuznetsov S. P. Plykin type attractor in electronic device simulated in MULTISIM // Chaos : An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2011. Vol. 21. 043105.

14. Кузнецов C. П. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом и моделирование их динамики в программной среде Multisim // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, № 5.С. 98–115.

15. Кузнецов С. П. Параметрический генератор грубого хаоса : схемотехническая реализация и моделирование в программной среде Multisim // Вестн. СГТУ. 2014. № 3 (76). С. 34–46.

16. Кузнецов С. П., Пономаренко В. И., Селезнев Е. П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, № 5. С. 17–30.

17. Кузнецов C. П., Селезнев Е. П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла – Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412.

18. Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла – Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 18. С. 1–8.

19. Баранов С. В., Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. Хаос в фазовой динамике осциллятора ван дер Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 1. С. 11–23.

20. Дмитриев А. С., Панас А. И. Динамический хаос :новые носители информации для систем связи. М. :Физматлит, 2002. 252 c.

21. Короновский А. А., Москаленко О. И., Храмов А. Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // УФН. 2009. Т. 179, № 12. Р. 1281–1310.

22. Lukin K. A. Noise radar technology // Telecommunications and Radio-Engineering. 2001. Vol. 16, № 12. P. 8–16.

23. Baptista M. S. Cryptography with chaos // Physics Letters A. 1998. Vol. 240. P. 50‒54.

24. Птицын Н. В. Приложение теории детерминированного хаоса в криптографии. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. 80 с.

25. Stojanovski T., Kocarev L. Chaos-Based Random Number Generators : in 2 parts. Part I : Analysis //IEEE Trans. Circuits and Systems. 2001. Vol. 48, № 3. Pt. 1. P. 281‒288 ; Pt. 2. P. 382‒385.

26. Stojanovski T., Kocarev L. Chaos-Based Random Number Generators : in 2 parts. Part II : Practical realization// IEEE Trans. Circuits and Systems. 2001. Vol. 48, № 3. P. 382‒385.

27. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 90. С. 3–210.

28. Balazs N. L.,Voros A. Chaos on the pseudosphere //Physics Reports. 1986. Vol. 143, № 3. P. 109‒240.

29. Тёрстон У. П., Уикс Д. Р. Математика трехмерных многообразий // В мире науки. 1984. № 9. С. 74‒88.

30. Hunt T. J., MacKay R. S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 1499‒1510.

31. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М. : Физматлит, 2005. 264 с.

32. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. -M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems : A method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9‒30.

33. Кузнецов С. П. Динамический хаос. 2-е изд. М. :Физматлит, 2006. 356 с.

34. Struik D. J. Lectures on classical differential geometry. Courier Dover Publications, 1988. 240 p.

35. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М. : Наука, 1968. 463 с.

36. Кузнецов С. П., Сатаев И. Р. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т.14, № 5. С. 3‒29.

37. Lai Y. -C., Grebogi C., Yorke J. A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity. 1993. Vol. 6. P. 779‒798.

38. Anishchenko V. S., Kopeikin A. S., Kurths J., Vadivasova T. E., Strelkova G. I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A. 2000. Vol. 270. P. 301‒307.

39. Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. 015203.

Full text (in Russian):