УДК: 
537.86

ВОЗВРАТЫ ПУАНКАРЕ И РАЗМЕРНОСТЬ АФРАЙМОВИЧА–ПЕСИНА В НЕАВТОНОМНОМ КОНСЕРВАТИВНОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ

Аннотация

Одной из фундаментальных особенностей временной динамики явля ется возврат Пуанкаре. Показано, что статистика времен возврата при глобаль ном подходе зависит от топологической энтропии h. Случай h > 0 (множество с перемешиванием) уже был исследован теоретически, а выводы теории были подтверждены результатами численного моделирования. Случай h = 0 (множество без перемешивания) также был исследован теоретически, но недавние результаты численного моделирования выявили накоторые расхождения с теорией. В частности, было получено, что зависимость средних минимальных времен возврата в окрестность размера ε в отображении окружности является ступенчатой функ- цией («Лестница Фибоначчи»). В данной работе методомчисленного анализа исследуются возвраты Пуанкаре на инвариантных кривых в стробоско пическом сечении неавтономно- го консервативного осциллятора при глобальном подходе. Получена ступенчатая зависимость среднего мини мального времени возврата от размера ε-окрестности возврата («Лест ница Фибоначчи»), а также найдены условия возникновения этой зависимости и влияние на нее амплитуды внешнего гармонического воздей ствия. Найдена размерность Афраймовича–Песина, как в случае рационального, так и иррационального отношения собственной и внешней частоты.

DOI: 
10.18500/1817-3020-2016-16-4-195-203
Литература

1. Пуанкаре A. Избранные труды : в 3 т. Т. 2 : Небесная механика. Топология. Теория чисел. М. : Наука, 1972. 1000 с.

2. Hirata M., Saussol B., Vaienti S. Statistics of Return Times : A General Framework and New Applications // Commun. Math. Phys. 1999. Vol. 206, iss. 1. P. 33—55.

3. Afraimovich V., Ugalde E., Urias J. Fractal dimension for Poincaré recurrences. Elsevier, 2006. 245 p.

4. Анищенко В. С., Астахов С. В. Теория возвратов Пуанкаре и её приложение к задачам нелинейной физики // УФН. 2013. Т. 183. С. 1009–1028.

5. Afraimovich V. Pesin’s dimension for Poincaré recurrences // Chaos. 1997.Vol. 7, iss. 1. P. 12–20.

6. Afraimovich V., Zaslavsky G. M. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincaré recurrences // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 5418–5426.

7. Penné V., Saussol B., Vaienti S. Fractal and statistical characteristics of recurrence times // Journal de Physique. 1998. Vol. 8, iss. 6. P. 163–171.

8. Anishchenko V. S., Astakhov S. V., Boev Ya. I., Biryukova N. I., Strelkova G. I. Statistics of Poincaré recurrences in local and global approaches // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2013. Vol. 18, iss. 12. P. 3423– 3435.

9. Anishchenko V. S., Boev Ya. I., Semenova N. I., Strelkova G. I. Local and global approaches to the problem of Poincaré recurrences. Applications in nonlinear dynamics // Phys. Rep. 2015. Vol. 587. P. 1–39.

10. Semenova N. I., Vadivasova T. E., Strelkova G. I., Anishchenko V. S. Statistical properties of Poincaré recurrences and Afraimovich–Pesin dimension for the circle map // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2015. Vol. 22. P. 1050–1061.

11. Slater N. B. Gaps and steps for the sequence nθ mod 1 // Proc. Camb. Philos. Soc. 1967. Vol. 63, iss. 4. P. 1115–1123.

12. Chirikov B. V., Shepelyansky D. L. Asymptotic Statistics of Poincaré Recurrences in Hamiltonian Systems with Divided Phase Space // Phys. Rev. Lett. 1999.Vol. 82. P. 528–531.

13. Shepelyansky D. L. Poincaré recurrences in Hamiltonian systems with a few degrees of freedom // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82. P. 055202.

14. Lichtenberg A. J., Liberman M. A. Regular and Stochastic Motion. Applied mathematical sciences. Springer-Verlag, 1982. 499 p.

15. Заславский Г. М., Кириченко Н. А. Хаос динамичес- кий // Физическая энциклопедия : в 5 т. / глав. ред. А. М. Прохоров. М. : Сов.энцикл., 1988. Т. 5. С. 397–402.

16. Srivastava N., Kaufman C., Müller G. Hamiltonian chaos // Computers in Physics. 1990. Vol. 4. P. 549–553.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF (на русском языке):