УДК: 
530.18

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПО ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ

Аннотация
Математическое моделирование по дискретным последовательностям экспериментальных данных (временным рядам) - активно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно начиналось с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией, а сейчас такие эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательноволновые феномены. Практические приложения эмпирических моделей очень разнообразны - от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения трудно укладываются в формальную схему. В статье дан обзор узловых проблем построения динамических моделей по хаотическим рядам и современных подходов к их решению. Разнообразные практические ситуации систематизированы по степени априорной осведомленности исследователя о подходящей структуре модели: «прозрачные», «серые» и «черные ящики». Изложение проводится по материалам публикаций многих научных групп за период 1981-2005 гг. в международных и отечественных изданиях; для иллюстрации подходов использованы в основном оригинальные материалы ученых и их коллег.
Литература
1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М, 1981.
2. Льют Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М., 1991.
3. Chaos and Its Reconstructions / Eds. Gouesbet G., MeunierGuttin-Cluzel S., Menard 0. N. Y.: Nova Science Publ., 2003, P. 1-160.
4. Гнеденко Б.В. Очерк по истории теории вероятностей. М., 2001.
5. Yule G.U. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers // Phil. Trans. R. Soc. A London, 1927. V. 226. P. 267298.
6. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., 1974.
7. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М, 1985.
8. Bock H.G. Numerical treatment of inverse problems in chemical reaction kinetics // Modelling of Chemical Reaction Systems / Eds. K.H. Ebert, P. Deuflhard, W. Jaeger. N. Y., 1981. V. 18. P. 102-125.
9. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series//Complex Systems. 1987. V. 1. P. 417-452.
10. Cremers J., Hubler A. Construction of differential equations from experimental data // Z. Naturforschung A. 1987. V. 42. P. 797-802.
11. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series //Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 845-848.
12. Nonlinear signal processing using neural networks: prediction and system modelling // Lapedes A., Farber R.M. Los Alamos technical report LA-UR 2662, 1987.
13. BroomheadD.S., Lowe D. Multivariable functional interpolation and adaptive networks // Complex systems. 1988. V. 2. P. 321-355.
14. Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series // Physica D. 1989. V. 35. P. 335-356.
15. Abarbanel H.D.I., Brown R., Kadtke J.B. Prediction and system identification in chaotic nonlinear systems: time series with broadband spectra // Phys. Lett. A. 1989. V. 138. P. 401408.
16. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 5817-5826.
17. Mees A.I. Dynamical systems and tesselations: Detecting determinism in data // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 1991. V. 1. P. 777-794.
18. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems from scalar time series // Phys. Rev. A. 1991. V. 43. P. 5321-5331.
19. Giona M., Lentini F., Cimagalli V. Functional reconstruction and local prediction of chaotic time series // Phys. Rev. E. 1991. V. 44. P. 3496-3502.
20. Smith L.A. Identification and prediction of lowdimensional dynamics // Physica D. 1992. V. 58. P. 50-76.
21. Baake E., Baake M., Bock HI, Briggs K.M. Fitting ordinary differential equations to chaotic data // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 5524-5529.
22. Пределы предсказуемости / Под ред. Ю.А. Кравцова. М., 1997.
23. Kanlz //., Schreiber T. Nonlinear time series analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1997 (chap. 12, p. 202-222).
24. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М, 2000 (гл. 11 - 14, с. 239 311).
25. Rapp P.E., Schmah T.I., Mees A.I. Models of knowing and the investigation of dynamical systems // Physica D. 1999. V. 132. P. 133-149.
26. Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S., Minard O. Global reconstructions of equations of motion from data series, and validation techniques, a review // Chaos and Its Reconstructions. N. Y.: Nova Science Publ., 2003. P. 1-160.
27. Аншценко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов, 1999 (гл. 9, с. 251 -287).
28. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко В.С. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, вып. 9. С. 1075-1092.
29. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор) // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 1. С. 29-51.
30. Bezruchko В.P., Seleznev Ye.P., Ponomarenko V.I. et al. Special approaches to global reconstruction of equations from time series // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №3. С. 137-158.
31. Shalizi C.R. Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview // arXiv: nlin. AO/03070I5. V 3 15 July 2003.
32. Гинсберг K.C., Басанов Д.М. Идентификация и задачи управления // Идентификация систем и задачи управления: Пленарн. докл. IV Междунар. конф. М., 2005. С. 56-63.
33. Jaeger L., Kanrz H. Unbiased reconstruction of the dynamics underlying a noisy chaotic time series // Chaos. 1996. V. 6. p. 440-450. 34. McSharry P.E., Smith LA. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 4285-4288.
35. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А., Логунов М.Ю. Анализ погрешности восстановления параметров нелинейного отображения по зашумленным хаотическим временным рядам // Изв. вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 1. С. 5566.
36. Judd К. Chaotic time series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods? // Phys. Rev. E. 2003. V. 67,026212.
37. Horbelt W., Timmer J. Asymptotic scaling laws for precision of parameter estimates in dynamical systems // Phys. Lett. A. 2003. V. 310. P. 269-280.
38. Pisarenko V.F., Sornette D. On statistical methods of parameter estimation for deterministically chaotic time series // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. 036122.
39. Смирнов Д.А., Власкин B.C., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, выи. 3. С.18-26.
40. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series // Phys. Lett. A. 2005. V. 336. P. 448-458.
41. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by auto-synchronization // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 12321235.
42. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М., 1979.
43. Horbelt W. Maximum likelihood estimation in dynamical systems: PhD thesis. University of Freiburg, 2001. http://\vebber.physik.uni-frciburp.de/~-horhelt/di.ss/.
44. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Сысоев ИВ. Оценка параметров динамических систем по хаотическим временным рядам при наличии скрытых переменных // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12, N« 6.
45. Meyer R., Christensen N. Bayesian reconstruction of chaotic dynamical systems // Phys. Rev. H. 2000. V. 62. P. 35353542.
46. Davies M.E. Noise reduction schemes for chaotic time series // Physica D. 1994. V. 79. P.174-192.
47. Bremer C.L, Kaplan D.T. Markov chain Monte Carlo estimation of nonlinear dynamics from time series // Physica D. 2001. V. 160. P. 116-126.
48. Sitz A., Schwartz U., Kurths J., Voss H.U. Estimation of parameters and unobserved components for nonlinear systems from noisy time series // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 016210.
49. Swameye /., Muller T.G., Timmer J. et al. Identification of nucleocytoplasmic cycling as a remote sensor in cellular signaling by databased modeling // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2003. V. 100. P. 1028-1033.
50. Horbelt W., Timmer J., Banner MJ. el al. Identifying physical properties of a CO2 laser by dynamical modeling of measured time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 016222.
51. Ваших В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М., 1979.
52. Akaike //. A new look at the statistical identification model // IEEE Trans. Automatic Control. 1974. V. 19. P. 716-723.
53. Schwartz G. Estimating the order of a model // Annu. Stat. 1978. V. 6. P. 461-464.
54. Rissanen J. Stochastic complexity in statistical inquiry. Singapore, 1989. V. 15.
55. Judd A., Mees A.I. On selecting models for nonlinear time series // Physica D. 1995. V. 82. P. 426-444.
56. Aguirre L.A., Freitas U.S., Letellier C, Maquel J. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models // Physica I). 2001. V. 158. P. 1-18.
57. Voss H.U. Analysing nonlinear dynamical systems with nonparametric regression // Nonlinear dynamics and statistics / Ed. by Л. Mess. Boston, 2001. P. 413-134.
58. Cimponeriu L, Rosenblum M., Pikovsky A. Estimation of delay in coupling from time series // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. 046213.
59. Bezruchko B.P., Dikanev T.V., Smirnov DA. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 036210.
60. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Глобальная реконструкция модельных уравнений по реализации переходного процесса // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, № 3. С. 3-12.
61. Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Капитаниак Т., Анищенко B.C. Глобальная реконструкция по нестационарным данным // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25, вып. 10. С. 74-81.
62. Banner MJ., Popp М., Meyer Th. et al. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Phys. Lett. A. 1996. V. 211. P. 345-349.
63. MJ. Banner, M. Popp, Th. Meyer et al. Tool to recover scalar time-delay systems from experimental time series // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 3082-3085.
64. Banner MJ., Meyer Th., KittelA., ParisiJ. Recovery of the time-evolution equation of time-delay systems from time series // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 5083-5089.
65. Megger R., Banner MJ., Kantz H., Giaquinta A. Identifying and modelling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 558-561.
66. Banner MJ., Ciofini M., Giaquinta A. et al. Reconstruction of systems with delayed feedback: (1) Theory // Eur. Phys. J. D. 2000. V. 10. P. 165-176.
67. Banner MJ., Ciofini M., Giaquinta A. et al. Reconstruction of systems with delayed feedback: (II) Applications // Eur. Phys. J. D. 2000. V. 10. P. 177-185.
68. Voss H. IS., Kurths J. Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A. 1997. V. 234. P. 336-344.
69. Voss H.U., Kurths J. Reconstruction of nonlinear time delay models from optical data // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. V.I 0. P. 805-809.
70. Horbelt W., Timmer./., Voss H. V. Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A. 2002. V. 299. P. 513-521.
71. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 056216.
72. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам // Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30, вып. 22. С, 23-30.
73. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ 2005. Т. 127, вып. 3. С. 515-527.
74. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 1. C. 49-67.
75. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, № 2. С. 27-38.
76. Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А., Сысоев И. В. Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 19. С. 69-76.
77. Bezruchko В.P., Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from a time series // Phys. Rev. E. 2001. V. 63. 016207.
78. Bezruchko В., Smirnov D., Dikanev Т., Sysoev I. Construction of dynamical model equations for nonautonomous systems from time series (peculiarities and special techniques) // Chaos and Its Reconstructions. N. Y.: Nova Science Publ., 2003. P. 215-243.
79. Tokens F. Detecting strange attractors in turbulence // Lecture Notes in Mathematics: Dynamical Systems and Turbulence / Eds. D. Rang, L.S. Young, 1981. V. 898. P. 366-381.
80. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli M. Embedology // J. Stat. Phys. 1991. V. 65, № 3-4. P. 579-616.
81. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз // Нейроинформатика-2003: Тр. V Всерос. науч.-техн. конф. М., 2003. 4.1. С. 86-148.
82. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M, Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction // Physica D. 1992. V. 57. P. 1-30.
83. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1131-1140.
84. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series // Phys. Lett. A. 1989. V. 142. P. 107-111.
85. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. V. 57, № 3. P. 617-656.
86. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem // Physica D. 1998. V. 120. P. 273-286.
87. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 3403-3411.
88. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983. V. 9. P. 189-208.
89. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. V. 20. P. 217-236.
90. Ланда П.С., Розенблюм M.F. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным // ЖТФ. 1989. Т. 59, №11. С. 1-8.
91. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖГФ. 1997. Т. 23, вып. 8. С. 7-13.
92. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Капитаниак Т., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем по сигналам малой длительности // Письма в ЖТФ. 1999. Т. 25, вып. 11. C. 7-13.
93. Dikanev Т., Smirnov D., Ponomarenko V., Bezruchko В. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, № 3. С. 165-178.
94. Casdagli M, Weigend A.S. Exploring the continuum between deterministic and stochastic modeling // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: AddisonWesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993. V. XV. P. 347-366.
95. Jimenez J., Moreno J.A., Ruggeri G.J. Forecasting on chaotic time series: a local optimal linear-reconstruction method // Phys. Rev. A. 1992. V. 45. P. 3553-3558.
96. Sauer T. Time series prediction by using delay coordinate embedding // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: Addison-Wesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993.V. XV. P. 175-193.
97. Kostelich E.J., Lathrop D.P. Time series prediction by using the method of analogues // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: Addison-Wesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993.V. XV. P. 283-295.
98. Smith LA. Does a meeting in Santa Fe imply chaos? // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: Addison-Wesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993.V. XV. P. 323-343.
99. Kugiumtzis D., Lingjaerde O.C., Christophersen N. Regularized local linear prediction of chaotic time series // Physica D. 1998. V. 112. P. 344-360.
100. Schroer C, Sauer Т., Ott E, Yorke J. Predicting chaos most of the time from embeddings with self-intersections // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 1410-1413.
101. Small M., Judd K. Comparisons of new nonlinear modeling techniques with applications to infant respiration // Physica D. 1998. V. 117. P. 283-298.
102. Judd K., Small M. Towards long-term prediction // Physica D. 2000. V. 136. P. 31-44.
103. Small A/., Judd K., Mees A. Modelling continuous processes from data // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 046704.
104. Weigend A., Huberman В., Rumelhart D. Predicting the future: a connectionist approach // Intern. J. Neur. Comput. 1990. V.I. P. 193-209.
105. Gerschenfeld N.A., Weigend A.S. (eds.) The future of time series: learning and understanding // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, N.Y.: Addison-Wesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993.V. XV. P. 1-70. 106. Wan E.A. Time series prediction by using a connectionist network with internal delay lines // Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: Addison-Wesley, SFI Studies in the Science of Complexity: Proceedings, 1993.V. XV. P. 195-217.
107. Press H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flarmery B.P. Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.
108. Gouesbet G., Letellier С. Global vector-field approximation by using a multivariate polynomial L2 approximation on nets // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 4955-4972.
109. Letellier C, Sceller L. Le, Dutertre P. el al. Topological characterization and global vector field reconstruction of an experimental electrochemical system // J. Phys. Chern 1995 V. 99. P. 7016-7027.
110. Letellier C, Sceller L. Le, Marechal E. et al. Global vector field reconstruction from a chaotic experimental signal in copper electrodissolution // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4262-4266.
111. Letellier C, Sceller L. Le, Gouesbet G. et al. Recovering deterministic behavior from experimental time series in mixing reactor// AIChE J. 1997. V. 43, №. 9. P. 2194-2202.
112. Letellier C, MaquetJ., Labro H. et al. Analyzing chaotic behavior in a Belousov-Zhabotinskyi reaction by using a global vector field reconstruction // J. Phys. Chem. 1998. V. 102. P. 10265-10273.
113. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А. и др. Восстановление структуры динамической системы по временным рядам // Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39, вып. 2. С. 269-277.
114. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кравцов Ю.А. и др. Построение по экспериментальным данным модели систем стабилизации резонансной частоты и температуры секции линейного ускорителя электронов // Вестн. Моск. ун-та, 1994. Сер. 3. Т. 35, № 1. С. 96-98.
115. Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным данным // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 3. С. 112-121.
116. Янсон Н.Б., Павлов А.П., Бананов А.Г., Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 16. С. 57-62.
117. Павлов А. Н., Янсон К.Б. Применение методики реконструкции математической модели к электрокардиограмме // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1.С. 93-108.
118. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Может ли режим работы сердца здорового человека быть регулярным? // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, вып. 8. С. 1005-1010.
119. Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1997. 120. Stark J., Broomhead D.S., Davies M., Huke J. Takens embedding theorem for forced and stochastic systems // Nonlinear Analysis. Theory, Methods, and Applications. Proc. of 2nd Congress on Nonlinear Analysis. Elsevier Science Ltd., 1997. V. 30, № 8. P. 5303-5314. 121. Brown R., Rulkov N.F., Tracy E.R. Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 3784-3800.
122. Анищенко B.C., Янсон Н.Б., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, вып. 7. С. 1-6.
123. Janson N.B., Pavlov A.N., Anishchenko V.S. One method for restoring inhomogeneous attractors // Intern. J. of Bifurcations and Chaos. 1998. V. 8, № 4. P. 825-833.
124. GaborD. II J. IEEE (London). 1946. V. 93. P. 429.
125. Lachaux J.P., Rodriguez E., M. Quyen Le van et al. II Intern. J. Bifurcation Chaos. 2000. V. 10. P. 2429.
126. Cao L, Mees A.I., Judd K. Dynamics from multivariate time series // Physica D. 1998. V. 121. P. 75-88.
127. Letellier C, Macquet J., Sceller L Le et al. On the nonequivalence of observables in phase space reconstructions from recorded time series // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. V. 31. P.7913-7927.
128. Letellier C, Aguirre L.A. Investigating nonlinear dynamics from time series: The influence of symmetries and the choice of observables // Chaos. 2002. V. 12. P. 549-558.
129. Smirnov D.A., Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P. Choice of dynamical variables for global reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 026205.
130. Смирное Д.А. Выбор переменных и структуры уравнений при динамическом моделировании по хаотическим временным рядам (неавтономные системы): Дис. ... канд. физ.-мат.наук, Саратов, 2001.
131. Безручко Б.П., Диканев Т.В., Смирнов Д.А. Тестирование на однозначность и непрерывность при глобальной реконструкции модельных уравнений по временным рядам // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, №4. С. 69-81.
132. Nonlinear Modeling and Forecasting, SFI Studies in the Sciences of Complexity: Proa/ Eds. M. Casdagli, S. Eubank. N.Y.: Addison-Wesley, 1992. V. XII.
133. Time Series Prediction: Forecasting the Future and Understanding the Past, SFI Studies in the Science of Complexity: Proc. / Eds. N.A. Gerschenfeld, A.S. Weigend. N.Y.: AddisonWesley, 1993. V. XV.
134. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Protopopescu V.A. Predictability of linear and nonlinear autoregressive models // Physics of Vibrations. 1999. V. 7, № 2. P. 61-75.
135. Schreiber T. Detecting and Analyzing Nonstationarity in a Time Series Using Nonlinear Cross Predictions // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 843-846.
136. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods // Physics Reports. 1999. V. 308. P. 3082.
137. Hively L.M., Gaily P.C., Protopopescu V.A. Detecting dynamical change in nonlinear time series // Phys. Lett. A. 1999. V. 258. P. 103-114.
138. Gribkov D., Gribkova V. Learning dynamics from nonstationary time series: analysis of electroencephalograms // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 6538-6545.
139. Dikanev Т., Smirnov D., Wennberg R. et al. EEG nonstationarity during intracranially recorded seizures: statistical and dynamical analysis // Clinical Neurophysiology. 2005.V. 316. P. 1796-1807.
140. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Исакевич В.В., Кравцов Ю.А. Выявление нестационарностей из случайноподобных сигналов динамической природы // Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40, № 2. С. 255.
141. Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимаксная процедура идентификации хаотических систем по
наблюдаемой временной последовательности // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42, вып. 3. С. 313-319.
142. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Detecting direction of coupling in interacting oscillator // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. R045202.
143. Rosenblum M.G., Cimponeriu L., Bezerianos A. et al. Identification of coupling direction: Application to cardiorespiratory interaction // Phys. Rev. E. 2002. V. 65. 041909.
144. Bezruchko В., Ponomarenko V., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Characterizing direction of coupling from experimental observations // Chaos. 2003. V. 13. P. 179-184.
145. Smirnov D., Bezruchko B. Estimation of interaction strength and direction from short and noisy time series // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. 046209.
146. Smirnov DA., Bodrov M.B., Velazquez J.L. Perez et al. Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: limitations and application to EEG data // Chaos. 2005. V. 15. 024102.
147. Smirnov D.A., Andrzejak R.G. Detection of weak directional coupling: phase dynamics approach versus state space approach // Phys. Rev. E. 2005 (in press).
148. Фейгин A.M., Мольков Я.И., Мухин Д.Н., Лоскутов E.M. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Изв. вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44, №5-6. С. 376-399.
149. Feigin A.M., Molkov Y.I., Mukhin D.N., Loskutov E.M. Investigation of nonlinear dynamical properties by the observed complex behavior as a basis for construction of the dynamical models of atmospheric photochemical systems // Faraday Discussions. 2002. V. 120. P. 105-123.
150. Фейгин A.M. Нелинейно-динамические модели атмосферных фотохимических систем: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Н. Новгород, 2002.
151. Мольков Я.И., Фейгин A.M. Прогноз качественного поведения динамической системы по хаотическому временному ряду // Нелинейные волны'2002. Н. Новгород, 2003. С. 34-53.
152. Anishchenko V.S., Pavlov A.N. Global reconstruction in application to multichannel communication // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2455-2457.
153. Анищенко B.C., Павлов А.Н., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // ЖТФ. 1998. Т. 68, № 12. С.1-8.
154. Павлов А. Н. Реконструкция динамических систем и ее приложения: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1998.
155. Ponomarenko V.L, Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. 026215.
156. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, № 9. С. 1098-1104.
157. Грибков Д.А., Грибкова В.В., Кузнецов Ю.И. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной неременной автостохастической системы // Вестн. Моск. унта. 1995. Сер. 3. Т. 36, № 1. С. 76-78.
158. Kadlke J. Classification of highly noisy signals using global dynamical models // Phys. Lett. A. 1995. V. 203. P. 196-202.
159. Kadtke J., Kremliovsky M. Estimating statistics for detecting determinism using global dynamical models // Phys. Lett. A. 1997. V. 229. P. 97-106.
160. Kremliovsky M., Kadlke J., Inchiosa M, Moore P. Characterization of dolphin acoustic echo-location data using a dynamical classification method // Intern. J. of Bifurcations and Chaos. 1998. V. 8. P. 813-824.
161. Small M., Judd A'., Mees A.I. Testing time series for nonlinearity // Statistics and Computing. 2001. V. 11. P. 257-268.
162. Kostelich E.J., Yorke J.A. Noise reduction in dynamical systems // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 1649-1652.
163. Kostelich E.J., Yorke J.A. Noise reduction: finding the simplest dynamical system consistent with data // Physica D. 1990. V. 4LP. 183-196.
164. Hammel S.M. A noise reduction for chaotic systems // Phys. Lett. A. 1990. V. 148. P. 421-428.
165. Schreiber Г., Grassberger P. A simple noise reduction method for real data // Phys. Lett. A. 1991. V. 160. P. 411-418.
166. Fanner J.D., Sidorowich J.J. Optimal shadowing and noise reduction // Physica D. 1991. V. 47. P. 373-392.
167. Kostelich E.J. Problems in estimating dynamics from data //Physica D. 1992. V. 58. P. 138.
168. Davies M.E. Noise reduction by gradient descent // Intern. J. Bif. Chaos. 1992. V. 3. P. 113-118.
169. Sauer T. A noise reduction method for signals from nonlinear systems // Physica D. 1992. V. 58. P. 193-201.
170. Kostelich E.J., Schreiber T. Noise reduction in chaotic time series data: a survey of common methods // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 1752-1763.
171. Dawson S., Grebogi C, Sauer Т., Yorke J.A. Obstructions to shadowing when a Lyapunov exponent fluctuates about zero // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. P. 1927-1930.
172. Davies M.E. Noise reduction schemes for chaotic time series // Physica D. 1994. V. 79. P. 174-192.
173. Hegger R., Kantz H, Schmuser F. et al. Dynamical properties of a ferroelectric capacitors observed through nonlinear time series analysis // Chaos. 1998. V. 8. P. 727-754.
174. Timmer J, Rust H, Horbelt W., Voss H.U. Parametric, nonparametric and parametric modelling of a chaotic circuit time series // Phys. Lett. A. 2000. V. 274. P. 123-130.
175. Bezruchko B.P., Seleznev Ye.P., Smirnov D.A. On the possibility of constructing a bifurcational diagram from an experimental time series // Proc. Intern. Symp. NOLTA Dresden, Germany, 2000. V. 2. P. 775-778.
176. Sysoev I.V., Smirnov D.A., Seleznev Ye.P., Bezruchko B.P. Reconstruction of nonlinear characteristics and equivalent parameters from experimental time series // Proc. 2nd IEEE Intern. Conf. on Circuits and Systems for Commun. Moscow, Russia, 2004. P. 140.
177. Voss H.U., Schwache A., Kurths J., Mitschke F. Equations of motion from chaotic data: A driven optical fiber ring resonator // Phys. Lett. A. 1999. V. 256. P. 47-54.
178. Parlitz U., Mayer-Kress G. Predicting low-dimensional spatiotemporal dynamics using discrete wavelet transforms // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. R2709-R2711.
179. Voss H.U., Btinner M, Abel M. Identification of continuous, spatiotemporal systems // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. P. 2820-2823.
180. Bar M., Hegger R., Kantz H. Fitting partial differential equations to space-time dynamics // Phys. Rev. E. 1999. V. 59. P. 337-343.
181. Parlitz U., Merkwirth С Prediction of spatiotemporal time series based on reconstructed local states // Phys. Rev! Lett. 2000. V. 84. P. 1890-1893.
182. Sitz A., Kurths J., Voss II. U. Identification of nonlinear spatiotemporal systems via partitioned filtering // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. 016202.
183. Timmer J. Parameter estimation in nonlinear stochastic differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. V. 11. P. 2571-2578.
Полный текст в формате PDF (на русском языке):