УДК: 
517.9: 514.853: 621.373

ОТ ДИНАМИКИ АНОСОВА НА ПОВЕРХНОСТИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ К ЭЛЕКТРОННОМУ ГЕНЕРАТОРУ ГРУБОГО ХАОСА

Аннотация

Отправляясь от задачи о геодезическом потоке на поверхности отрицательной кривизны, где реализуется хаотическая динамика Аносова, разработана электронная схема генератора грубого хаоса. Приводятся результаты исследований с помощью пакета схемотехнического моделирования NI Multisim, а также результаты численного решения уравнений, доставляющих разную степень точности описания динамики рассматриваемой системы. Представлены портреты аттракторов, временные зависимости генерируемых колебаний, показатели Ляпунова, спектры и продемонстрировано хорошее соответствие наблюдаемой динамики генератора хаоса с гиперболической динамикой Аносова исходного геодезического потока. С использованием критерия, основанного на статистике углов пересечения устойчивых и неустойчивых подпространств векторов возмущения опорной фазовой траектории на аттракторе, показано, что гиперболическая природа динамики сохраняется при изменении параметров в некотором диапазоне.

DOI: 
10.18500/1817-3020-2016-16-3-131-144
Литература

1. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, № 1 (151). С. 113–185. 
2. Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1997. Vol. 7, № 9. P. 1353–2001. 
3. Аносов Д. В., Арансон С. Х., Гринес В. З., Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Сафонов А. В., Солодов В. В., Старков А. Н., Степин А. М., Шлячков С. В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M. : ВИНИТИ, 1991. Т. 66. С. 5–242.
4. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М. : Факториал, 1999. 768 с. 
5. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М. : Наука, 1979. С. 192–212. 
6. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // Доклады АН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–250. 
7. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М. : Физматгиз, 1959. 916 с. 
8. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М. : Наукa, 1984. 432 с. 
9. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. 2-е изд. М. : Физматлит, 2005. 292 с. 
10. Banerjee S., Yorke J. A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, № 14. P. 3049–3052. 
11. Elhadj Z., Sprott J. C. Robust Chaos and Its Applications. Singapore : World Scientific, 2011. 472 p. 
12. Дмитриев А. С., Ефремова Е. В., Максимов Н. А., Панас А. И. Генерация хаоса. М. : Техносфера, 2012. 424 с. 
13. Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы : гиперболическая революция. Математические события ХХ века. М. : Фазис, 2003. С. 1–18. 
14. Pesin Ya. B. Lectures on partial hyperbolicity and stable ergodicity // European Mathematical Society, 2004. 144 p. 
15. Bonatti C., Diaz L. J., Viana M. Dynamics beyond Uniform Hyperbolicity. A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 2005. 384 p. 
16. Кузнецов С. П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы : от математики к физике // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149. 
17. Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы : от математики к физике. М. ; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2013. 488 с. 
18. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 90. С. 3–210. 
19. Balazs N. L., Voros A. Chaos on the pseudosphere // Physics Reports. 1986. Vol. 143, № 3. P. 109–240. 
20. Bums K., Donnay V. J. Embedded surface with ergodic geodesic flows // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1997. Vol. 7. P. 1509–1527. 
21. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. М. : Наука, 1990. 672 с. 
22. Struik D. J. Lectures on classical differential geometry. Courier Dover Publications, 1988. 
23. Meeks W. H., Pérez J., Pérez J. A survey on classical minimal surface theory. University Lecture Series. Vol. 60. American Mathematical Society, 2012. 182 p. 
24. Тёрстон У. П., Уикс Д. Р. Математика трехмерных многообразий // В мире науки. 1984. № 9. С. 74–88. 
25. Hunt T. J., MacKay R. S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 1499–1510. 
26. Кузнецов С. П. Хаос в системе трех связанных ротаторов: от динамики Аносова к гиперболическому аттрактору // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 5–17. 
27. Кузнецов С. П. Гиперболический хаос в автоколебательных системах на основе тройного шарнирного механизма: Проверка отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых многообразий фазовых траекторий // Нелинейная динамика. 2016. Т. 12, № 1. С. 121–143. 
28. Козлов В. В. Замкнутые орбиты и хаотическая динамика заряда в периодическом электромагнитном поле // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, № 1. С. 3–12. 142 
29. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Наукa, Гл. ред. физ.-матем. лит., 1978. 304 с. 
30. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М. : Физматлит, 2005. 264 с. 
31. Goldstein H., Poole Ch.P. Jr., Safko J. L. Classical Mechanics, 3rd ed. Boston, Mass. : Addison-Wesley, 2001. 680 p. 
32. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 446 с. 
33. Best Roland E. Phase-Locked Loops : Design, Simulation and Applications. 6th ed. McGraw Hill, 2007. 490 p. 
34. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems : A method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9–30. 
35. Шустер Г. Детерминированный хаос : Введение. М. : Мир, 1988. 240 с.

36. Кузнецов С. П. Динамический хаос. 2-е изд. М. : Физматлит, 2006. 356 с. 
37. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J. A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity. 1993. Vol. 6. P. 779–798. 
38. Anishchenko V. S., Kopeikin A. S., Kurths J., Vadivasova T. E., Strelkova G. I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A. 2000. Vol. 270. P. 301–307. 
39. Ginelli F., Poggi P., Turchi A., Chaté H., Livi R., Politi A. Characterizing Dynamics with Covariant Lyapunov Vectors // Physical Review Letters. 2007. Vol. 99. P. 130601. 
40. Kuznetsov S. P. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale–Williams Type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 144101. 
41. Кузнецов C. П., Селезнев Е. П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла – Вильямса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412. 
42. Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Physical Review E. 2012. Vol. 85. 015203. 
43. Kuznetsov S. P., Kruglov V. P. Verification of Hyperbolicity for Attractors of Some Mechanical Systems with Chaotic Dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, № 2. P. 160–174. 
44. Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла–Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в Журнал технической физики. 2008. Т. 34, вып. 18. С. 1–8. 
45. Баранов С. В., Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. Хаос в фазовой динамике осциллятора ван дер Поля с модулированной добротностью и дополнительной запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 1. С. 11–23. 
46. Kuznetsov S. P. Plykin type attractor in electronic device simulated in MULTISIM // Chaos : An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2011. Vol. 21. 043105. 
47. Аржанухина Д. С. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом на основе связанных Научный отдел С. П. Кузнецов. От динамики Аносова на поверхности отрицательной крутизны осцилляторов Ван дер Поля // Вестн. Сарат. гос. техн. ун-та. 2013. № 3 (72). С. 20–30. 
48. Кузнецов С. П., Пономаренко В. И., Селезнев Е. П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, № 5. С. 17–30. 
49. Isaeva O. B., Kuznetsov S. P., Sataev I. R., Savin D. V., Seleznev E. P. Hyperbolic Chaos and Other Phenomena of Complex Dynamics Depending on Parameters in a Nonautonomous System of Two Alternately Activated Oscillators // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, № 12. P. 1530033.

Краткое содержание (на английском языке): 
Полный текст в формате PDF (на русском языке):